Установка:

Добавляем на сайт скрипт Autosize

• Скачать: autosize.js
• Скачать: autosize.min.js

И подключаем к textarea:

NodeList

autosize(document.querySelectorAll('textarea'));

single Node

autosize(document.querySelector('textarea'));

jQuery

autosize($('textarea'));

Пример:

Для того чтобы ограничить максимальную высоту текстовой области используется css-свойство max-height

Autosize.js на github.com